Uniform asymptotics of the Stieltjes–Wigert polynomials via the Riemann–Hilbert approach

It has been known for some time that the existing asymptotic methods for integrals and differential equations are not applicable in the case of Stieltjes–Wigert polynomials with degree going to infinity. Using the recently introduced nonlinear steepest descent method for Riemann–Hilbert problems, here we not only derive an asymptotic expansion for these polynomials, but we also show that the result holds uniformly in the complex plane except for a sector containing the real axis from −∞ to 1/4. Furthermore, we give an asymptotic formula for the zeros of these polynomials, which approximates the true values of the zeros closely.

On sait depuis longtemps que les méthodes asymptotiques existantes pour les intégrales et les équations différentielles ne sont pas applicables aux polynômes de Stieltjes–Wigert lorsque le degré tend vers l'infini. En utilisant des méthodes de descente non lineaires, introduites récemment pour les problèmes de Riemann–Hilbert, nous obtenons non seulement un développement asymptotique pour ces polynômes, mais nous montrons également que le résultat est uniforme dans le plan complexe, sauf pour un secteur contenant l'axe réel de −∞ à 1/4. De plus, nous démontrons une formule asymptotique qui donne une bonne approximation des racines de ces polynômes.